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虚数是有理数还是无理数

2023-12-03 15:29 浏览

虚数不是有理数也不是无理数,它是复数。复数包含实数和虚数。有理数是实数,所以有理数是复数,但有理数不是虚数,虚数也不是有理数。

虚数的定义

在数学中,虚数就是形如a+b×i的数,其中a,b是实数,且b≠0,i²=-1。虚数这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔创立,因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。后来发现虚数a+b×i的实部a可对应平面上的横轴,虚部b可对应平面上的纵轴,这样虚数a+b×i可与平面内的点(a,b)对应。

可以将虚数bi添加到实数a以形成形式a+b×i的复数,其中实数a和b分别被称为复数的实部和虚部。一些作者使用术语纯虚数来表示所谓的虚数,虚数表示具有非零虚部的任何复数。

在数学里,将偶指数幂是负数的数定义为纯虚数。所有的虚数都是复数。定义为i²=-1。但是虚数是没有算术根这一说的,所以±√(-1)=±i。对于z=a+bi,也可以表示为e的iA次方的形式,其中e是常数,i为虚数单位,A为虚数的幅角,即可表示为z=cosA+isinA。实数和虚数组成的一对数在复数范围内看成一个数,起名为复数。虚数没有正负可言。不是实数的复数,即使是纯虚数,也不能比较大小。

虚部带i还是不带i

不带i的。虚部是指复数中不带i的部分。复数是形如a+bi的数,其中a和b是实数,i是虚数单位,满足i2=-1。在复数a+bi中,a称为实部,b称为虚部。虚部只是一个实数,不需要带符号i。如果带了符号i,就成了虚数部分。例如,在复数3+4i中,3是实部,4是虚部,4i是虚数部分。

虚数的运算公式

1、加法

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。

【注】a、b、c、d∈R,下同。

2、减法

(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。

3、乘法

(a+bi)(c+di)=ac+(ad)i+(bc)i+(bd)i^2=ac+(ad)i+(bc)i-(bd)=(ac-bd)+(ad+bc)i。

【注】按多项式乘法展开后,注意到“i^2=-1”,所以“(bd)i^2”等于“-bd”。

要想快速、熟练地掌握虚数的乘法,只需把虚数乘法看成多项式乘法,然后按多项式乘法法则展开,最后注意“i^2=-1”的替换。

4、除法

(a+bi)÷(c+di)=(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+(bc-ad)i/(c^2+d^2)。

【注】分母c+di≠0.复数的除法运算,常常先把除式化为分式形式后,再进行化简。

要想快速、熟练地掌握虚数的除法,只需先把“除式”化成“分式”,然后在掌握分母实数化方法(即“(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2”)的前提下进行等价变形和化简。

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